ANALISIS APROKSIMASI PADÉ DAN PENERAPANNYA PADA HAMPIRAN FUNGSI

ABSTRAK

Kata Kunci: Fungsi, Hampiran, Aproksimasi Padé

Persoalan matematika yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari biasanya dinyatakan dalam bentuk fungsi. Fungsi-fungsi tersebut sering tidak dapat diselesaikan dengan penghitungan secara eksak (biasa) sehingga perlu dilakukan perhitungan dengan hampiran (aproksimasi) untuk mendekati nilainya.

Pada umumnya, penghampiran terhadap nilai suatu fungsi terutama fungsi dalam deret pangkat tak hingga dilakukan ke dalam bentuk polinom karena polinom merupakan bentuk yang paling mudah dipahami, mudah dihitung dan hanya melibatkan pangkat-pangkat bilangan bulat sederhana. Namun, dalam kondisi tertentu suatu fungsi tidak dapat dihampiri dengan bentuk polinom. Dalam kondisi seperti ini, suatu fungsi dapat dihampiri ke dalam bentuk fungsi rasional menggunakan aproksimasi Padé.

Suatu fungsi rasional yang didefinisikan sebagai , dengan disebut aproksimasi Padé pada fungsi jika memenuhi persamaan , dimana merupakan sisa pemotongan untuk suku ke-(L+M+1). Metode aproksimasi Padé dalam beberapa hal memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan metode aproksimasi polinom.

Adapun langkah-langkah dalam mengkonstruksi aproksimasi Padé yang sesuai dengan deret pangkat (power series) dapat dilakukan dengan cara-cara berikut: (1) mendefinisikan suatu fungsi ke dalam ekspansi deret Maclaurin, (2) mengasumsikan suatu fungsi rasional yang didefinisikan sebagai , dengan untuk menghampiri fungsi sehingga berlaku , (3) membentuk suatu sistem persamaan koefisien untuk masing-masing konstanta pada variabel , dan (4) menentukan koefisien-koefisien pembilang dan penyebut fungsi rasional dengan menyelesaikan sistem persamaan koefisien yang diperoleh.